Initiation à la théorie des distributions

开始时间: 04/22/2022 持续时间: Unknown

所在平台: CourseraArchive

课程类别: 数学

大学或机构: École Polytechnique(巴黎综合理工学院)

授课老师： François Golse Yvan Martel

课程主页: https://www.coursera.org/course/distributions

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课程详情

Dans plusieurs domaines des sciences (physique, mécanique, analyse numérique, etc.) apparaît la nécessité de développer un calcul différentiel "généralisé" pour des fonctions peu régulières, par exemple discontinues. La première leçon présente une situation de ce genre. L'objet de ce cours est d'introduire la théorie des distributions qui fournit une réponse élégante à ce problème.

Dans un premier temps, nous présentons la notion de distribution, généralisant la notion de fonction, et les premières propriétés de ces objets mathématiques.

On montre ensuite comment certaines opérations bien connues sur les fonctions, en particulier la dérivation, se prolongent naturellement au cadre des distributions.

Le cours s'achève sur quelques applications à des exemples classiques d'équations aux dérivées partielles linéaires.

课程大纲

Semaine 1 : équation de transport - fonctions test
Semaine 2 : notion de distribution - premiers exemples - suite de distributions
Semaine 3 : opérations sur les distributions
Semaine 4 : opérations sur les distributions (suite)
Semaine 5 : formule des sauts
Semaine 6 : support d'une distribution - convolution des distributions
Semaine 7 : distributions tempérées - transformation de Fourier
Semaine 8 : équations aux dérivées partielles - solutions élémentaires
Semaine 9 : exemples : équation de Laplace, équation de la chaleur

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课程简介

Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.