课程简介

Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.

课程大纲

Semaine 1 : équation de transport - fonctions test

Semaine 2 : notion de distribution - premiers exemples - suite de distributions

Semaine 3 : opérations sur les distributions

Semaine 4 : opérations sur les distributions (suite)

Semaine 5 : formule des sauts

Semaine 6 : support d'une distribution - convolution des distributions

Semaine 7 : distributions tempérées - transformation de Fourier

Semaine 8 : équations aux dérivées partielles - solutions élémentaires

Semaine 9 : exemples : équation de Laplace, équation de la chaleur

课程详情

Dans plusieurs domaines des sciences (physique, mécanique, analyse numérique, etc.) apparaît la nécessité de développer un calcul différentiel "généralisé" pour des fonctions peu régulières, par exemple discontinues. La première leçon présente une situation de ce genre. L'objet de ce cours est d'introduire la théorie des distributions qui fournit une réponse élégante à ce problème.

Dans un premier temps, nous présentons la notion de distribution, généralisant la notion de fonction, et les premières propriétés de ces objets mathématiques.

On montre ensuite comment certaines opérations bien connues sur les fonctions, en particulier la dérivation, se prolongent naturellement au cadre des distributions.

Le cours s'achève sur quelques applications à des exemples classiques d'équations aux dérivées partielles linéaires.