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课程名称：伽罗瓦理论导论 课程概述：本课程介绍伽罗瓦理论，从经典的多项式方程不可解性标准，到通过模素数约简计算伽罗瓦群的更高级方法。课程的主题是研究多项式的根，特别关注如何从多项式的系数表达这些根。埃瓦里斯特·伽罗瓦考虑了这些根的对称性，并因此将一个多项式与其根的置换群——即伽罗瓦群——关联起来。他首次在这一框架中提出了群的概念，这一概念在数学中普遍存在。他的研究使我们能够解释为什么一般来说，随机方程的根不能用涉及其系数的代数公式表示，尤其是当方程的次数大于或等于5时，阿贝尔之前已经证明了这一点。更一般地，伽罗瓦群的研究可以准确地表明何时这样的公式存在。这被称为伽罗瓦对应，连接了体理论与群理论。 本课程将以基础线性代数的结果为基础，解释这一理论。我们将探讨体理论，即体之间的嵌套关系，并引入代数数（主要是多项式的根）的概念。另一方面，我们将引入研究置换群所需的基本元素。这将使我们能够在多项式系数为整数以及其系数模素数p的更一般框架下，解释伽罗瓦理论。 课程的高潮是对这两种情况（“整数”与模p约简后的情况）中的伽罗瓦群进行比较，从而提供一个强大的群计算工具。 本课程为学习多种代数概念提供了机会，这些概念在多个数学领域至关重要，且课程以极其简单的方式快速达到显著成果。我们并未追求最大的普遍性，而是尽快切入主题，使用最少的抽象形式。因此，感兴趣的学习者将能够进一步深入，尤其依靠推荐的参考书目或更高级的课程。 课程大纲： 1. 引言：问题描述及单变量多项式的一些结果作为热身。 2. 体扩张：代数性、代数闭体、原素引理。 3. 最小多项式：共轭元素。 4. 有限体：弗罗贝尼乌斯、自同构、有限体扩张。 5. 群论基础 I：基本结果、元素的阶、拉格朗日定理。 6. 伽罗瓦对应：阿廷引理、伽罗瓦群、伽罗瓦对应。 7. 群论基础 II：可解群、对称群Sn（当n≥5时）的不可解性。 8. 周期理论 I：一般周期扩张、库默理论。 9. 伽罗瓦的可解性定理：可解性标准、伽罗瓦定理（阶数为p）。 10. 模p约简：通过模p约简计算系数为整数的多项式的伽罗瓦群。 11. 附加内容：通过模p约简在有理数上的周期性及其他应用。
Part: 1
Title:Introduction
Description:description du problème et quelques résultats sur les polynômes d'une variable comme échauffement
Part: 2
Title:Extensions de corps
Description:algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l'élément primitif
Part: 3
Title:Polynôme minimal
Description:éléments conjugués
Part: 4
Title:Corps fini
Description:Frobenius, automorphismes, extensions de corps finis
Part: 5
Title:Théorie des groupes I
Description:résultats de base, ordre d’un élément, théorème de Lagrange
Part: 6
Title:Correspondance de Galois
Description:lemme d'Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois
Part: 7
Title:Théorie des groupes II
Description:groupes résolubles, non résolubilité du groupe symétrique Sn pour n plus grand ou égal à 5
Part: 8
Title:Cyclotomie I
Description:extension cyclotomique générale, théorie de Kummer
Part: 9
Title:Théorèmes de résolubilité de Galois
Description:critère de résolubilité, théorème de Galois en degré p
Part: 10
Title:Réduction mod p
Description:groupes de Galois de polynômes à coefficients entiers par réduction modulo p
Part: 11
Title:Compléments
Description:Cyclotomie sur Q (grâce à la réduction modulo p) et autres applications.
Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
